高等數學教學課件

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1、第二節一、一、偏導數的定義及其計算偏導數的定義及其計算二二 、高階偏導數、高階偏導數 偏導數 第九章第九章 一、一、偏導數定義及其計算法偏導數定義及其計算法復習一元函數復習一元函數 的導數概念的導數概念f(x)y 接下來研究多元函數的關于其中一個自變量接下來研究多元函數的關于其中一個自變量的變化率的變化率.以元函數以元函數 為例來定義為例來定義.y)f(x,z .y)y,x(f)yy,x(fz;x)y,x(f)y,xx(fz)y,x()y,x(fzyx的的偏偏增增量量為為關關于于的的偏偏增增量量為為關關于于的的偏偏增增量量在在點點設設函函數數0000000000 定義定義1.)y,x(fz 在

2、點在點),(),(lim000yfyfx存在存在,對對在在點點)y,x()y,x(fz00 x的偏導數的偏導數.;)y,x(xz00 記記為為)y,x(00的某鄰域內的某鄰域內;)y,x(xf00 xx 00 x則稱此極限為則稱此極限為極限極限設函數設函數x.)y,x(fx00;z)y,x(x00 x)y,x(f)y,xx(flimx 00000)y,x(fx00即即:同樣可定義對同樣可定義對 y 的偏導數的偏導數y)y,f(x-y)y,f(x lim0000y 0)y,x(fy00若若z=f(x,y)在定義域在定義域D 內每一點內每一點(x,y)處處,z,xf,xzx 則該偏導數稱為則該偏導

3、數稱為偏導函數偏導函數.簡稱為簡稱為 偏導數偏導數,y)(x,fxy)(x,fy記為記為對對x或或 y 偏導數存在偏導數存在,z,yf,yzy 偏導函數偏導函數:),(zyxfx例如例如,三元函數三元函數 u=f(x,y,z)在點在點(x,y,z)處對處對 x 的的偏導數的概念可以推廣到二元以上的函數偏導數的概念可以推廣到二元以上的函數.0 xlim),(zyf),(zyfx xx?)z,y,x(fy?)z,y,x(fz x偏導數定義為偏導數定義為(請自己寫出請自己寫出)例例2.求求223yyxxz 解法解法1 1:xz),(xz21 在點在點(1,2)處的偏導數處的偏導數.,yx32 yzy

4、x23,82312),(yz21 72213),(xz21 ),(yz21 ，462 xx1)62(xx81 xz，231yy 2)23(yy72 yz解法解法2 2:例例1 1:xz yz .sin的偏導數的偏導數求求y2xz2，ysinx22 y2x22cos 例例4.求求222zyxr的偏導數的偏導數.解解:xryr2222zyx x2,rx rzzr ,ry例例3.設設，）且且10 x,x(xzyzyzxlnxzyx21 證證:xzyzxlnxzyx 1 yyxx yz求證求證:,1yxyxxylnz2例例5.已知理想氣體的狀態方程已知理想氣體的狀態方程求證求證:1 pTTVVpTRV

5、p證證:VTRp pTRV RVpT pTTVVp(R 為常數為常數),Vp;VTR2 TV;pRpTRVVpTR 1 二元函數偏導數的幾何意義二元函數偏導數的幾何意義:0000 xx)y,x(fxddxfxxyy 0yy)y,x(fzxTM00000yy)y,x(fyddyfxxyy 是曲線是曲線0),(xxyxfzyTM0在點在點 M0 處的切線處的切線對對 x 軸的斜率軸的斜率.在點在點M0 處的切線處的切線斜率斜率.是曲線是曲線yxz0 xyToxT0y0M對對 y 軸的軸的軸的傾角是多少？軸的傾角是多少？處的切線對于處的切線對于在點在點例：求曲線例：求曲線x),(,yyxz54244

6、22 2xzx 解：解：12542542 ),(xz),(x.4542 軸軸的的傾傾角角是是處處的的切切線線對對于于即即曲曲線線在在點點x),(函數在某點各偏導數都存在函數在某點各偏導數都存在,顯然顯然例如例如,000222222yx,yx,yxyx)y,x(fz0)0,(dd)0,0(xxfxfx0),0(dd)0,0(yyfyfy00注意：注意：但在該點但在該點不一定連續不一定連續.二、高階偏導數二、高階偏導數設設 z=f(x,y)在在D內存在連續的偏導數內存在連續的偏導數)y,x(fyz,)y,x(fxzyx 若這兩個偏導數仍存在偏導數，若這兩個偏導數仍存在偏導數，)xz()yz(x )

7、xz(y )y,x(fyz)yz(yyy 22則稱它們是則稱它們是z=f(x,y)的的二階偏導數二階偏導數.按求導順序不同按求導順序不同,有下列四個二階偏導有下列四個二階偏導22xz );y,x(fxx yxz 2)y,x(fyx);y,x(fxyzxy 2x 數數:類似可以定義更高階的偏導數類似可以定義更高階的偏導數.例如例如,z=f(x,y)關于關于 x 的三階偏導數為的三階偏導數為3322)(xzxzxz=f(x,y)關于關于 x 的的 n 階偏導數為階偏導數為)(x nnxz 11nnxz.xyzyxz,xyz、226、求求設設例例,)y,x()x,y(f)x,y(fxyyx連連續續都

8、都在在點點和和若若00)y,x(f)y,x(fxyyx0000 則則定理定理.(證明略)yxz 2解：解：xyz2,)xz(y1 1 )yz(x例例7.1,xyxy3yxz323 設設.xyzyxzyzxz 222222及及、求求解解:xz 22xz yz yxz2 xyz 2 22 yzy,y3yx3322 x;xy9yx223 ,xy26;yyx19622 ,1y9yx622 .xyx1823 作業作業P69：1(1)、(2)；2zzyy)yxarctan(uxz;)xy(zyxtanlnz);xy(cos)xysin(zxylnzuvvusxyyxz.:P ）；（；（）（）；（；（）（）

9、；（；（）（；）；（；（）（求下列函數的偏導數：求下列函數的偏導數：87165432116922233 第九章第九章*二、全微分在數值計算中的應用二、全微分在數值計算中的應用 第三節復習：一元函數復習：一元函數 的微分的微分)(xoxAydx(x)fAyd x本節內容本節內容:一、全微分的定義、全微分的定義 全微分全微分f(x)y 一、全微分的定義一、全微分的定義 定義定義:如果函數如果函數 z=f(x,y)在定義域在定義域 D 內點內點(x,y),(),(yxfyyxxfz可表示成可表示成,)(oyBxAz 稱為稱為)y,x(f在點在點(x,y)的的全微分全微分,記作記作yBxAz fdd2

10、2)()(yx則稱函數則稱函數 f(x,y)在在(x,y)可微可微，處全增量處全增量yBxA )(odzz 注意：注意：)(o)yBxA(lim 0函數函數 z=f(x,y)在點在點(x,y)可微可微0-00 )y,x(f)yy,xx(flimyx即即由微分定義由微分定義:zlimyx 000)y,x(f)yy,xx(flimyx 00函數在該點連續函數在該點連續即即定理定理1 1(必要條件必要條件)若函數若函數 z=f(x,y)在點在點(x,y)可微可微,則該函數在該點偏導數則該函數在該點偏導數yzxz,yyzxxzzd 必存在必存在,且有且有y),f(y),f(z xxz 同樣可證同樣可證

11、,Byz yyzxxzyBxAzd 證證:由全增量公式由全增量公式,)(oyBxAz,0y令)(xoxA得到對得到對 x 的偏增量的偏增量xx xzlimx0 x A x反例反例:函數函數)y,x(f易知易知y),(fx),(fzdzzyx 0000因此因此,函數在點函數在點(0,0)不可微不可微.22)y()x(yx 002222 yx,yxyx0022 yx,0)00,(f0)0,(f),(yx 處處有有在在點點00定理定理1 的逆定理不成立的逆定理不成立.偏導數存在不一定可微偏導數存在不一定可微.即即:定理定理2(充分條件充分條件)yz,xz 若函數若函數),(yxfz 的偏導數的偏導數

12、,)y,x(連續連續在點在點則函數在該點則函數在該點可微分可微分.yyzxxzzd的的全全微微分分可可寫寫為為：函函數數、分分別別記記為為、習習慣慣上上，將將自自變變的的增增量量)y,x(fzdydxyx dyyzdxxzzd xxu推廣推廣:類似可討論三元及三元以上函數的可微性問題類似可討論三元及三元以上函數的可微性問題.例如例如,三元函數三元函數),(zyxfu ud習慣上把自變量的增量用微分表示習慣上把自變量的增量用微分表示,udyyudzdzu 的全微分為的全微分為 yyuzzu 于是于是xdxu 的的全全微微分分、計計算算函函數數例例221yyxz ,xyxz2 解解：yxyz22

13、dy)yx(xydxdyyzdxxzdz222 例例2.求求 在在(2,1)點的全微分點的全微分xyez,:xyyexz 解解xyxeyz ,212exzyx ,2212eyzyx dyedxedz222 例例3.求求 的全微分的全微分yzeyxu 2sin,1:xu解解,2cos21yzzeyyu yzyezu dzyedyzeydxduyzyz )2cos21(.duxuyz，求求、設設三三元元函函數數例例 4,yzxxu:yz 1 解解,xlnzxyuyz ,xlnyxzuyz xdzlnyxxdylnzxdxyzxduyzyzyz 1.y,.x,y,xezxy的的全全微微分分當當、求求函函數數例例10150115 ,exzyexz:yxxy 11解解eyzxeyzyxxy 11yyzxxzdz 10150.e.e e.250 作業作業P76：1(1)、(3)、(4)；3