效用論無差異曲線精講課件

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1、概率論概率論 第三章第三章 二維隨機變量及其概率二維隨機變量及其概率分布分布二維隨機變量及其分布函數二維隨機變量及其分布函數二維離散型隨機變量及其分布律二維離散型隨機變量及其分布律二維連續型隨機變量二維連續型隨機變量二維隨機變量的邊緣分布與條件分布二維隨機變量的邊緣分布與條件分布概率論概率論 從本講起，我們開始第三章的學習從本講起，我們開始第三章的學習.一維隨機變量及其分布一維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布 由于從二維推廣到多維一般無實質性的由于從二維推廣到多維一般無實質性的困難，我們重點討論二維隨機變量困難，我們重點討論二維隨機變量.它是第二章內容的推廣它是第二章內

2、容的推廣.3.1 二維隨機變量及其分布函數二維隨機變量及其分布函數概率論概率論 到現在為止，我們只討論了一維到現在為止，我們只討論了一維r.v及其分布及其分布.但有些隨機現象用一個隨機變量來描述還不夠，而但有些隨機現象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述需要用幾個隨機變量來描述.在打靶時在打靶時,命中點的位置是命中點的位置是由一對由一對r.v(兩個坐標兩個坐標)來確定的來確定的.飛機的重心在空中的位置是飛機的重心在空中的位置是由三個由三個r.v(三個坐標三個坐標)來確定的等來確定的等等等.概率論概率論 一般地一般地,如果向量如果向量 的值由隨機試的值由隨機試 12,nXXX叫

3、做叫做 維隨機向量維隨機向量n或或 維隨機變量維隨機變量.n 以下重點討論二維隨機變量以下重點討論二維隨機變量.請注意與一維情形的對照請注意與一維情形的對照.驗結果而定，則稱驗結果而定，則稱 12,nXXX概率論概率論)()(xXPxFxX的分布函數的分布函數一維隨機變量一維隨機變量 ,F x yPXxYyP Xx Yy,x y如果對于任意實數如果對于任意實數二元二元 函數函數稱為二維隨機變量稱為二維隨機變量 的的聯合分布函數聯合分布函數。,X Y定義定義1 ,X Y設設 是二維是二維隨機變量隨機變量,概率論概率論 xXOx Oxyy YX,YX yx,x 將二維隨機變量將二維隨機變量 看成是

4、平面上隨機點看成是平面上隨機點的坐標的坐標,X Y 那么那么,分布函數分布函數 在點在點 處的函數值處的函數值就是隨機點就是隨機點 落在下面左圖所示的落在下面左圖所示的,以點以點 為頂點而位于該點左下方的無窮矩形域內的概率為頂點而位于該點左下方的無窮矩形域內的概率.,X Y ,x y ,F x y ,x y分布函數的函數值的幾何解釋分布函數的函數值的幾何解釋概率論概率論 xyO YX,1x2xy yx,1 yx,2 :,的性質的性質分布函數分布函數yxF ;,.1的不減函數的不減函數和和是關于變量是關于變量yxyxF ;,212121yxFyxFxxRxxRy 時時當當及及對任意固定的對任意固

5、定的 ;,212121yxFyxFyyRyyRx 時時當當及及對任意固定的對任意固定的 YX,概率論概率論 ,0,1,0.2 yFRyyxF對任意固定的對任意固定的且且 .1,0,0,FFxFRx對任意固定的對任意固定的Oxyy YX,XY yx,x yx,x概率論概率論 11211222,yxFyxFyxFyxF 2121,yYyxXxP 隨機點隨機點 落在矩形域落在矩形域 ,X Y1212,xXxyYy內的概率為內的概率為4.0,0,.3 yxFyxFyxFyxF YX,xyO1x2x2y1y概率論概率論,),(ijjipyYxXP,)(kkpxXPk=1,2,離散型離散型一維隨機變量一維

6、隨機變量XX 的分布律的分布律 ,0kpkkp1k=1,2,定義定義2的值是有限對或可列無限多對的值是有限對或可列無限多對,是是離散型隨機變量離散型隨機變量.則稱則稱 ,X Y設二維離散型隨機變量設二維離散型隨機變量 ,X Y可能取的值是可能取的值是 ,ijx y,1,2,i j ,1,2,i j 記記如果二維隨機變量如果二維隨機變量 ,X Y全部可能取到的不相同全部可能取到的不相同稱之為二維離散型隨機變量稱之為二維離散型隨機變量 的的聯合分布律聯合分布律。,X Y3.2 二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量概率論概率論 ijijijpjip1,2,1,10二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量

7、 的的聯合分布律聯合分布律具有性質具有性質(,)X Y概率論概率論 12ixxxYX12jyyy11121 jppp21222 jppp12iiijppp也可用表格來表示隨機變量也可用表格來表示隨機變量X和和Y 的的聯合分布律聯合分布律.概率論概率論 解解,0031 )2,1(YXP,312132)1,2(YXPXY11220313131,312132)2,2(YXP例例1：一口袋中有三個球，它們依次標有數字一口袋中有三個球，它們依次標有數字1、2、2，無放，無放回取球兩次，以回取球兩次，以X、Y 分別記第一次、第二次取得的球上分別記第一次、第二次取得的球上標有的數字，寫出標有的數字，寫出(X

8、,Y)的聯合概率分布。的聯合概率分布。)1,1(YXP,31131 所以所以(X,Y)的聯合概率分的聯合概率分布律為：布律為：概率論概率論 設設 X 及及Y 分別是取出的分別是取出的4件產品中一等品及二等品的件數，件產品中一等品及二等品的件數，則有聯合概率函數：則有聯合概率函數：CCCCjijijYiXP4104253,2 i+j 4.解解:其中其中i=0、1、2、3；j=0、1、2、3、4；10件產品中有件產品中有3件一等品，件一等品，5件二等品，件二等品，2件三等品。從件三等品。從例例2：中任取中任取4件，求其中一等品、二等品件數的二維概率分布。件，求其中一等品、二等品件數的二維概率分布。

9、由此得由此得(X,Y)的二維聯合概率分布如下：的二維聯合概率分布如下：000300200100043210XY210102102021052101521060210302103210302103021022105概率論概率論 例例3設事件設事件A，B滿足滿足P(A)=1/4,P(A|B)=1/2，P(B|A)=1/2.記記X，Y分別為一次試驗中分別為一次試驗中A，B發生的次數，發生的次數，求求(X,Y)的分布律的分布律.解解 (X,Y)可取值可取值(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)PX=0,Y=0PX=0,Y=1 ()()()P ABP BP AB=1/8()P AB P(AB)=

10、P(A)P(B|A)=1/8()1 81()(|)1 24P ABP BP A B1()P AB1()()()P AP BP AB 58概率論概率論()()()P ABP AP ABPX=1,Y=0PX=1,Y=1()P AB 1 8.=1/8故聯合分布律為：故聯合分布律為：YX015188118801概率論概率論 二、二、二維離散型隨機變量及其分布列二維離散型隨機變量及其分布列二維二維離散離散型型隨機變量隨機變量,2,1,),(),(jiyxYXji(X,Y)的的概率分布概率分布 一維離散型隨機變量一維離散型隨機變量,2,1,jxXj.1;0jjjpp X 的概率分布的概率分布 jjpxXP

11、 )(分布列分布列),(jiyYxXP X 和和Y 的的聯合分布列聯合分布列1,0ijj ij ipp可表示為可表示為表格形式表格形式類比類比 1,0ijj ij ipp非負性非負性 規范性規范性 j ip Y X y1 y2 yj x1 x2.xi.p11 p21.pi1.p12 p22.pi2.p1j p2j.pij.X 和和Y 的聯合分布函數的聯合分布函數),(),(yYxXPyxF ),(yx yyj ixxjip X 的分布函數的分布函數()()xFP Xx jjxxp ！概率論概率論 ,fx y函數函數 稱為二稱為二維維一維連續型隨機一維連續型隨機變量變量XX的概率密度函數的概率密

12、度函數 xtdtfxFx0)(xf Rxxf 定義定義3對于二維隨機變量對于二維隨機變量 ,X Y的分布函數的分布函數 ,F x y則稱則稱 是是連續型的二維隨連續型的二維隨 ,X Y機變量機變量,（X,Y)的的聯合密度函數聯合密度函數,隨機變量隨機變量 ,yxF x yf u v dudv 存在非負的函數存在非負的函數 ,fx y如果如果任意任意 有有,x y使對于使對于或或聯合概率密度聯合概率密度.概率論概率論 ;0,.1 yxf;,.3dxdyyxfDYXPxOyDD則則有有平平面面上上的的區區域域是是設設yxyxFyxf),(),(2在在 f(x,y)的連續點的連續點,.4 2.,1;

13、fx y dxdy 概率論概率論 常見兩種分布：常見兩種分布：1.均勻分布：均勻分布：設設A是是xoy平面上的區域，其面積為平面上的區域，其面積為()A 若（若（X，Y）的聯合概率密度為：）的聯合概率密度為：1(,)()(,)0 x yAAf x y 其其他他則稱則稱(X,Y)服從服從A上的均勻分布。上的均勻分布。概率論概率論 2.二維正態分布：二維正態分布：若若(X,Y)的聯合密度函數為：的聯合密度函數為：2122211221222122()11(,)exp2(1)21()()()2xf x yxyy 121212,0,0,11,其其中中為為常常數數，且且則稱則稱(X,Y)服從二維正態分布。

14、記為服從二維正態分布。記為221122(,)(,;,;)X YN 概率論概率論 P(0 X 1,0 Y 2)Gdxdyyxf),()0,1()2,0()0,0()2,1(FFFF 例例434()0,0;(,),0.其他xyxyCf x y e e 試求：試求：常數常數C;分分布函數布函數F(x,y);P(0X 1,0Y 2)與與P(Y X).解解 dxdyyxf),(1由規范性知：由規范性知：,12C C=12;yxdudvvufyxF),(),(記為記為G()340012,0,0;xyuvdudvxy e e yxoG43(1)(1)0,0;,(,),.0yxxyF x y 其其他他e ee

15、 exy()340012xxydxdy e e.74 3400 xydxdyC e ee e,0其其他他38(1)(1)；e ee eG GdxdyyxfGYXP),(),(P(X Y)概率論概率論 yx,實數實數xdttfxF)()(有有0)(xf若若(X,Y)是是二維二維連續型連續型隨機變量隨機變量0),(yxf若若三、二維連續型隨機變量三、二維連續型隨機變量X 是是(一維一維)連續型連續型隨機變量隨機變量 類比類比 yxdudvvufyxF),(),(有有badxxfbXaPxfxFdxxfxf)()()(1)(0)(dxdyyxfGyxPyxfyxyxFdxdyyxfyxfG ),()

16、,(),(),(1),(0),(2 位于位于xOy 面上方的曲面面上方的曲面.它與它與xOy 面圍成的空間區域面圍成的空間區域體積為體積為1.隨機點隨機點(X,Y)落在落在平面區域平面區域G內的概率內的概率=以以G為底、曲面為底、曲面f(x,y)為頂的曲頂柱體的體積為頂的曲頂柱體的體積1),(0),(dxdyyxfyxf=F(+,+)非負性非負性 規范性規范性 x (-,+)隨機變量隨機變量X 的分布函數的分布函數F(x)f(x)是是 X 的的概率密度概率密度二維隨機變量二維隨機變量(X,Y)的分布函數的分布函數F(x,y)f(x,y)是是X 和和Y 的聯合概率密度的聯合概率密度概率論概率論

17、二維隨機變量二維隨機變量(X,Y)作為一個整體作為一個整體,具有分布函具有分布函數數 ,F x y而而 和和 都是隨機變量都是隨機變量,XY也有各自的分也有各自的分布函數布函數,分別記為分別記為 ,XYFxFy XFxP Xx變量變量(X,Y)關于關于 X 和和 Y的邊緣分布函數的邊緣分布函數.依次稱為二維隨機依次稱為二維隨機 ,YFyP YyP XYyFy 一、邊緣分布函數一、邊緣分布函數 ,P Xx Y ,F x3.4 3.4 二維隨機二維隨機變量的邊緣分布與條件分布量的邊緣分布與條件分布概率論概率論 一般地，對離散型一般地，對離散型 r.v(X,Y)，則則(X,Y)關于關于X 的邊緣分布

18、律的邊緣分布律為為X和和Y 的聯合分布律為的聯合分布律為,2,1,),(jipyYxXPijji 11,ijijjjPXx Yyp,2,1iixXP二、二維離散型隨機變量的邊緣分布二、二維離散型隨機變量的邊緣分布.ip概率論概率論 同理同理，(X,Y)關于關于 Y 的邊緣分布律的邊緣分布律為為jyYPjiijjiippyYxXP.11,1,2,j 概率論概率論 xxjj iip1iipxXP點點 表示表示 pij 對于該點所在位置的變量求和對于該點所在位置的變量求和 二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量(X,Y)的聯合分布列為的聯合分布列為,),(ijjipyYxXP ()XxF xxiXip

19、xF)(1jj iipxXP1ij ijpyYP,1iij ijyYPpp,2,1j(X,Y)關于關于X 和關于和關于Y 的的邊緣分布列邊緣分布列,1ijj iixXPpp,2,1i記住記住!,2,1,ji(,)xF概率論概率論 隨機變量隨機變量X和和Y 的的聯合分布律與邊緣分布聯合分布律與邊緣分布.12ixxxYX12jyyy11121 jppp21222 jppp12iiijppp1.p2.p.ip.1p.2p.jp取和取和取和取和取和取和取取和和取取和和取取和和概率論概率論 Y 1 2 3 01/6 1/9 0 01/9 X1231/3 1/6 1/9 jipyYPiipxXP 4/9

20、5/18 1/9 1/31/31/3 11,ijijpP Xx ,2,1i1jijiippP Yy ，,2,1j邊緣分布列邊緣分布列?為方便計算為方便計算,我們通常將邊緣分布列寫在聯合分布列表格的邊緣上我們通常將邊緣分布列寫在聯合分布列表格的邊緣上例例1 所以所以 .p i 概率論概率論 例例2 將兩封信隨機的往編號為將兩封信隨機的往編號為、的四個郵筒內的四個郵筒內投。投。的的邊邊緣緣分分布布。中中關關于于合合分分布布及及的的聯聯。寫寫出出個個郵郵筒筒內內信信的的數數目目表表示示第第12121),(),()2,1(iii解：試驗共有16種可能結果，且 R.V.2,1,ii的可能取值為 0，1，

21、2，于是可得：0,161,162,16416416221,0,1640,0222112200211011021012100ppppppppPpPp的的聯聯合合概概率率分分布布表表為為：故故21,概率論概率論 12012012164164161164162161000的的邊邊緣緣分分布布為為：關關于于由由上上表表可可得得121,.ip1691661611 P012169166161概率論概率論 對連續型對連續型 r.v(X,Y)，X 和和Y 的聯合概率密度為的聯合概率密度為),(yxfdyyxfxfX),()(dxdyyxfxFYxXPxXPxFxX,),()(三、連續型隨機變量的邊緣分布三、連

22、續型隨機變量的邊緣分布 x 則則(X,Y)關于關于 X 的邊緣分布函數的邊緣分布函數 和密度函數和密度函數 分別為分別為()XFx()Xfx概率論概率論()(,)Yfyf x y dx y dydxyxfyFyYXPyYPyFyY,),()(同理，同理，(X,Y)關于關于 Y 的邊緣分布函數的邊緣分布函數 和和密度函數密度函數 分別為分別為()YFy()Yfy概率論概率論 小結小結聯合聯合 分布分布函數函數離散型離散型連續型連續型),(),(),(),(,211112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP 聯合分布列聯合分布列 聯合概率密度聯合概率密度 j ijipyYxXP,2,

23、1,jiyyxxj ijipyYxXPyxF,),(dxdyyxfGyxPyxfyxyxFG),(),(),(),(2邊緣邊緣分布分布函數函數 離散型離散型連續型連續型 邊緣分布列邊緣分布列邊緣概率密度邊緣概率密度dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(X 與與Y 的聯合分布的聯合分布,),(yYxXPyxF(X,Y)關于關于X 和和Y 的邊緣分布的邊緣分布),()(xFxFX),()(yFyFY關于關于X 的的關于關于Y 的的關于關于X 的的關于關于Y 的的,1ijj iixXPpp,1iij ijyYPppyyjYjpxF)(xxiXipxF)(yYdvdxvxfyF),()(

24、xXdudyyufxF),()(yxdudvvufyxF),(),(概率論概率論 例例3 設設(X,Y)的概率密度是的概率密度是,0;10,6),(2其它其它xxyxyxf解解 dyyxfxfX),()(求求邊緣密度邊緣密度.dxyxfyfY),()(分段函數積分應注意其表達式分段函數積分應注意其表達式;10 x;10 y ,62xxdy ，yydx6 yx 0 1 y=x y=x2 yx.,0其其他他.,0其其他他 在求連續型隨機變量的邊緣密度時，往往在求連續型隨機變量的邊緣密度時，往往要對聯合密度在一個變量取值范圍上進行積分要對聯合密度在一個變量取值范圍上進行積分.當聯合密度是當聯合密度是

25、分段分段函數函數時，在計算積分時應特別注意積分限時，在計算積分時應特別注意積分限.概率論概率論 yx -a 0 a 例例4設設(X,Y)服從橢圓域服從橢圓域 上的均勻分布上的均勻分布,求求12222 byax(1)求求(X,Y)的的邊緣密度函數邊緣密度函數 ;)(),(yfxfYX 解解(1),0;1,1),(2222其其它它byaxbayxf 由題知由題知(X,Y)的概率密度為的概率密度為 dyyxfxfX),()(同理可得同理可得 .,0;,12)(22bybybybyfY(2)AdxdyyxfAYXP),(),(2),其中其中A為區域為區域:0,0,yxayx),(AYXPX 與與Y 不

26、服從不服從均勻分布均勻分布 ,1222211axaxbbdyba;1222axa ，ax|,0001aaxdxdyab;|ax .2 ba 二維均勻分布的兩個二維均勻分布的兩個邊緣密度未必是邊緣密度未必是均勻分布的均勻分布的二維正態分布的邊緣密度仍服從正態分布二維正態分布的邊緣密度仍服從正態分布221axby221axby yx a0 a Ax+y=a 概率論概率論 122112222211221()2()()()2(1)1(,)21yyxxf x y e e22122122()()()2yxy 解解例例4dyyxfxfX),()(求求二維正態分布二維正態分布的邊緣密度的邊緣密度.222211

27、2211()()yxx 1222211221()()yxx 212211()1yxt ，221,1dtdy 2222()221(),2yYyfy e e),(),(222211 NYNX二維正態分布的兩個邊緣密度仍是正態分布二維正態分布的兩個邊緣密度仍是正態分布 2121()211(),2xXxfx e e均與均與 無關無關 逆命題成立嗎逆命題成立嗎？2xdx e e由邊緣分布一般由邊緣分布一般不能確定聯合分布不能確定聯合分布22121()2211()2xtXfxdt e ee e22211221211)()2 12yxxdy e ee e22121 1請看下例請看下例 概率論概率論 例例5

28、若二維隨機變量若二維隨機變量(X,Y)的的概率密度為概率密度為 222,1()(,)1 sinsin,2xyxyf x yxy e e求邊緣密度函數求邊緣密度函數 .)(),(yfxfYX 解解dyyxfxfX),()(2222221()sinsin2yxyxy dy eeeee e22222211,;22yxxxdy eeeeee同理同理 221(),.2yYyfy e e.)1,0(;)1,0(NYNX 但反之不真但反之不真二維正態分布性質二維正態分布性質二維正態分布的兩個邊緣密度仍是正態分布的二維正態分布的兩個邊緣密度仍是正態分布的正態分布的聯合分布未必是正態分布正態分布的聯合分布未必是

29、正態分布但反之不真但反之不真概率論概率論 )()()|(BPABPBAP在事件在事件B發生的條件下事件發生的條件下事件A發生的條件概率發生的條件概率推廣到隨機變量推廣到隨機變量 設有兩個設有兩個r.v.X,Y，在給定在給定Y取某個或某些值取某個或某些值的條件下，求的條件下，求X的概率分布的概率分布.這個分布就是條件分布這個分布就是條件分布.四、條件分布四、條件分布概率論概率論 例如，考慮某大學的全體學生，從其中隨機抽例如，考慮某大學的全體學生，從其中隨機抽取一個學生，分別以取一個學生，分別以X和和Y 表示其體重和身高表示其體重和身高.則則X和和Y都是隨機變量，它們都有一定的概率分布都是隨機變量

30、，它們都有一定的概率分布.體重體重X身高身高Y體重體重X的分布的分布身高身高Y的分布的分布概率論概率論 現在若限制現在若限制 1.7Y 0，則稱，則稱為為在在 Y=yj條件下隨機變量條件下隨機變量X的條件分布律的條件分布律.PX=xi|Y=yj=jjipp，i=1,2,類似定義在類似定義在 X=xi 條件下條件下隨機變量隨機變量Y 的條件分布律的條件分布律.,ijjP Xx YyP Yy 作為條件的那個作為條件的那個r.v.,認為取值是給定的，認為取值是給定的，在此條件下求另一在此條件下求另一r.v.的概率分布的概率分布.概率論概率論 條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的條件分布是一種概率

31、分布，它具有概率分布的一切性質一切性質.正如條件概率是一種概率，具有概率的正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質一切性質.例如：例如：i=1,2,0ijP XxYy 11ijiP XxYy 概率論概率論 解解 依題意，依題意，Y=n 表示在第表示在第n次射擊時擊中次射擊時擊中目目標標,且在前且在前n-1次射擊中有一次擊中目標次射擊中有一次擊中目標.首次擊中目標時射擊了首次擊中目標時射擊了m次次.n次射擊次射擊擊中擊中2nn-11.m擊中擊中 例例1 一射手進行射擊，擊中目標的概率一射手進行射擊，擊中目標的概率 射擊進行到擊中目標兩次為止射擊進行到擊中目標兩次為止.以以 X 表示首表示首 次

32、擊中目標所進行的射擊次數次擊中目標所進行的射擊次數，以，以 Y 表示總共進行表示總共進行 的射擊次數的射擊次數.試求試求 X 和和 Y 的聯合分布及條件分布的聯合分布及條件分布.1,p p 0p X=m 表表概率論概率論 (n=2,3,;m=1,2,n-1)由此得由此得X和和Y的聯合分布律為的聯合分布律為 不論不論m(m0，極限,lim|lim00yYyPyYyxXPyYyxXP存在，則稱此極限為在條件條件下X的條件分布函數.記作|)|(|yYxXPyxFYX可證當 時 0)(yfy)(),()|(|yfduvufyxFYxYX概率論概率論 若記 為在Y=y條件下X的條件概率密度，則由(3.3

33、.3)知,當 時，.)|(|yxfYX0)(yfY)(),()|()|(|yfyxfxyxFyxfYYXYX類似定義，當 時0)(xfX)(),()|()|(|xfyxfyxyFxyfXXYXY概率論概率論)(),()|(|yfyxfyxfYYX 設設 X 和和 Y 的聯合概率密度為的聯合概率密度為 ,fx y 關于關于 的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為 ,Yfy ,X YY 則稱則稱 為在為在 的條件下的條件下 ,Yfx yfyYy 的的條件概率密度條件概率密度.X記為記為 ,xxX YYfx yfx y dxdxfy 稱稱 為在為在 Yy 的條件下的條件下,的的條件分布函數條件分布函數.X

34、記為記為 X YP Xx YyFx y或或定義定義2若對于固定若對于固定 0,Yfy y的的 ,概率論概率論)(),()|(|xfyxfxyfXXY ,xX YYfx yP Xx YyFx ydxfy 即即類似地類似地,可以定義可以定義 ,yY XXfx yFy xdyfx 概率論概率論 例例2 設設B為由為由y軸、軸、x軸及直線軸及直線 y=2x+1 所圍三角所圍三角形區域，形區域，(X,Y)服從服從B上的均勻分布，試求上的均勻分布，試求X的邊緣密的邊緣密度，并求在度，并求在(X=x)下下Y的條件分布密度函數的條件分布密度函數|(|)Y Xfy x解：解：(X,Y)的聯合密度函數為：的聯合密

35、度函數為：4(,)(,)0 x yBf x y其其他他關于關于X的邊緣密度函數：的邊緣密度函數：2101402()(,)0 xXdyxfxf x y dydy其其他他概率論概率論 14(21)020 xx其其他他2101402()(,)0 xXdyxfxf x y dydy其其他他因此所求條件密度函數為：因此所求條件密度函數為：|1021(,)(|)21()0Y XXyxf x yfy xxfx其其他他概率論概率論 例例3 假設隨機變量假設隨機變量X的密度函數為的密度函數為240()00 xXxexfxx而隨機變量而隨機變量Y服從區間服從區間(0，X)上的均勻分布，試求：上的均勻分布，試求：(1)(X,Y)的聯合密度函數的聯合密度函數f(x,y)(2)Y的密度函數的密度函數()Yfy思路思路|(,)()(|)XY Xf x yfx fy x()(,)Yfyf x y dx